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In questo articolo si vuole dimostrare con l'ausilio di calcoli fisico-matematici, come le reali scie di condensa abbiano una espansione (larghezza) molto minore di molte scie che adesso si vedono formarsi dietro gli aerei che solcano i nostri cieli. Del fatto che le scie di condensa siano  per loro natura delle scie sottili, troviamo testimonianza anche in una didascalia presente a pagina 144 di una rivista dell'aereonautica statunitense del 1975 (Aviation Weather), ove sotto un'immagine di scia di condensa si trova scritto:

Figure 130  Contrails. The thin contrail is freshly formed by an aircraft 

Ovvero: Figura 130 Scie di condensa. La scia di condensa è stata da poco formata da un aereo.


 
E adesso passiamo al calcolo del raggio di una scia di condensa in funzione della pressione di vapore saturo dell’acqua e dell’umidità relativa.


Calcolo del raggio di una scia di condensa

A noi interessa sapere quanto vapore acqueo per unità di volume sia presente nell’aria a differenti quote, e quanto vapore ancora possa essere immesso nell’aria prima che si arrivi alla condizione di saturazione. Assumiamo che la scia di condensa si formi quando il vapore acqueo prodotto da un aereo satura l’aria in cui vengono emessi i fumi del motore.

Ovviamente non si tratta di una "nostra" assunzione arbitraria e soggettiva, ma basata su quanto troviamo scritto a pagina 143 di una rivista dell'aereonautica statunitense del 1975 (Aviation Weather), ovvero che: 

“La scia di condensa del vapore fuoriuscito dal motore si forma a causa dell'immissione nell'atmosfera di vapore acqueo aggiunto dai motori dell'aereo in quantità sufficiente da causare la saturazione o sovrassaturazione dell'aria. Dal momento che l'atmosfera è anche surriscaldata dal motore dell'aereo, il vapore aggiunto deve essere di tale entità da saturare o sovrassaturare l'atmosfera nonostante tale calore aggiuntivo.” 

[Il grassetto è stato aggiunto dall'autore del presente articolo. Nell'originale inglese si legge testualmente: “The exhaust contrail is formed by the addition to the atmosphere of sufficient water vapor from aircraft exaust gases to cause saturation or super-saturation of the air. Since heat is also added to the atmosphere in the wake on an aircraft, the addition of water vapor must be of such magnitude that it saturates or supersaturates the atmosphere in spite of the added heat.”]

Ad ulteriore conferma citiamo il Manuale di meteorologia, Una guida alla comprensione dei fenomeni atmosferici e climatici in collaborazione con l’UAI(Unione Astrofili Italiani) - di libro di Girolamo Sansosti e Alfio Giuffrida (Gremese Editore – 2006) dove a pagina 86 si legge:

“L’immissione in atmosfera dei gas di scarico degli aerei, ricchi di nuclei di condensazione e di vapore acqueo, determina la sovrassaturazione del vapore acqueo e, quindi, la formazione di scieLe scie di condensazione si formano ad altezze in cui la temperatura dell’aria è molto bassa (inferiore a -40 °C), con umidità relativa almeno del 60%. Le scie possono essere più o meno durare nel tempo, a seconda della stabilità dell’aria e della quantità di vapore presente.”

Una sorta di conferma indiretta l'abbiamo dalle parole pronunciate dal meteorologo militare Guido Guidi ad una puntata della trasmissione Geo & Geo (la registrazione è disponibile aquesto link):

"Se l'umidità è in aumento, se è molto consistente il contributo di umidità le scie tendono a divenire sempre più larghe e noi usiamo dire che tendono a divenire persistenti nel cielo e quindi anche a dar luogo a nuvolosità"

Il nostro studio fa riferimento per l'appunto a quelle scie persistenti che si espandono nel cielo e che secondo questo meteorologo si formano quando c'è alta umidità è in aumento. Non crediamo sia azzardato supporre che il termine alta, riferito ad una quantità che varia da 0 a 100, dovrebbe riferirsi a ben più del 60 (avete mai sentito dire che un voto di 6, su una scala che va da 1 a dieci, sia un voto alto?) e ci chiediamo come il signor Guidi giustifichi la presenza di tutte quelle scie persistenti in invernoquando i valori di umidità relativa non sono sufficienti. Quanto alla possibilità che le scie persistano a lungo nel cielo mi sono già espresso altrove, ma nel presente articolo i concentro su altre questioni.
Saturazione dell'umidità significa che c'è (in una certa porzione dell'atmosfera) il massimo valore di vapore acqueo possibile che a sua volta dipende dalla temperatura dell'aria (vedi equazione di Clausius-Clapeyron). Sovrassaturazione significa che il contenuto in vapore acqueo supera addirittura tale valore massimo. L'umidità in eccesso a questo punto condensa facilmente specie se vi sono delle particelle che fungono da nuclei iniziali di condensazione (e che troviamo di regola nei fumi dei motori); in assenza di queste particelle l'aria potrebbe anche restare in una situazione di equilibrio instabile e restare soprassatura (almeno per un certo periodo di tempo).

L'indice utilizzato per stimare il livello di umidità è la cosiddetta umidità relativa, rapporto tra la pressione del vapore acqueo misurata in una certa zona dello spazio (per essere precisi occorrerebbe parlare di pressione parziale del vapore acqueo), e la massima pressione possibile (che corrisponde al livello di saturazione). Infatti sappiamo che la pressione di un aeriforme (almeno in certe condizioni ideali, che come vedremo sono soddisfatte in prima approssimazione nel nostro caso) secondo l'equazione dei gas perfetti) è proporzionale al rapporto n/V(numero di moli per unità di volume, dove il numero di molirappresenta un indice della quantità della sostanza aeriforme); quando si arriva a saturazione dell'umidità anche la pressione di vapore è massima e viceversa. Tale valore massimo della pressione del vapore per un dato valore di temperatura si chiamatensione di vapore o pressione di vapor saturo.

Ad esempio se la pressione del vapore acqueo misurata vale 100 Pascal e la pressione di vapor saturo vale 500 Pascal, il rapporto tra i due valori è 1/5, e tale frazione espressa in percentuale corrisponde all'umidità relativa, che in questo caso sarebbe del 20%  (1/5*100=20).

In questo nostro primo calcolo assumiamo che si possa utilizzare per il vapore acqueo, alla quota di circa 10 km di altezza, l’equazione dei gas reali PV=nRT. In realtà tale equazione costituisce una ottima approssimazione della realtà sperimentale solo per valori molto alti di temperatura e molto bassi di pressione. Nel nostro caso la pressione è alquanto bassa e la temperatura pure, e quindi solo una delle due condizione è verificata. Controlleremo in seguito tramite l’equazione di Van der Waals (vedi appendice 2 in fondo al presente documento) quale sia l’entità dell’approssimazione da noi fatta e quale la ripercussione sulla quantità da noi calcolata (il raggio di una scia di condensa).
Dall’equazione dei gas reali PV=nRT possiamo ricavare in funzione degli altri parametri il numero di moli di vapore acqueo per unità di volume n/V=P/RT. Da notare che il rapporto n/V non è altro che l’inverso del volume molare, quantità che entra in una delle formulazioni più utili della sunnominata formula di Van Der Waals. Una volta noto il numero di moli, dal momento che la molecola dell’acqua (H2O) ha peso atomico 18 (16+1+1), basta moltiplicare per 18 tale quantità e ottenere i grammi di vapore acqueo.
I grammi di vapore acqueo per unità di volume sono quindi 18*n/V=18*P/RT. Se utilizziamo per la costante R il suo valore 8,315 (calcolato nel Sistema Internazionale) la densità di vapore acqueo presente nell’aria espressa in grammi al metro cubo sarà data da 18*P/RT.

Ecco quindi la nostra prima formula:

1) 18*P/RT  densità di vapore acqueo in grammi al metro cubo (gr/m3)

Indichiamo adesso con Ps la pressione di vapore saturo dell’acqua, ovvero la massima quantità di vapore che può essere presente ad una data temperatura, in una zona in cui la pressione del vapore acqueo sia P. Per calcolare quanto vapore acqueo è possibile immettere ancora, prima che la saturazione inneschi la condensazione del vapore in eccesso, basta calcolare la quantità massima di vapore inserendo Ps al posto di P nella formula 1 ottenendo:

2) 18*Ps/RT valore limite della densità di vapore acqueo, espresso in grammi al metro cubo  (gr/m3).

Basta quindi fare la differenza tra la formula 2 e la 1 per ottenere la massima quantità che si può ancora immettere prima di arrivare alla saturazione: 18*(Ps-P)/RT. Siccome è utile esprimere i risultati dei nostri calcoli in funzione dell’umidità relativa, che è definita dal rapporto P/Ps espresso in percentuale, (Hrel=100*P/Ps), in questa ultima formula mettiamo in evidenza Ps ed applichiamo la proprietà distributiva ottenendo:

3) 18Ps(1-0,01*Hrel)/RT massima densità di vapore acqueo che si può ancora immettere, espressa in grammi al metro cubo  (gr/m3).
La quantità di vapore acqueo emessa per motore da uno degli aerei che consuma più carburante (il quadrimotore Boeing 747) è,come calcolato in un precedente articolo 4,7 gr. per ogni metro di percorso (quantità massima presumibilmente sovrastimata, per eccesso di zelo), ed utilizzeremo tale valore per calcolare i limiti massimi della larghezza di una scia. Ad ogni modo nei calcoli successivi indicheremo con C tale quantità (grammi di acqua generata per ogni metro di percorso da un singolo motore dell'aereo).  Se Rs è il raggio dell’eventuale scia di condensa formatasi in seguito al passaggio dell’aereo, immaginiamo che tale quantità di vapore acqueo si distribuisca in un volume cilindrico di base π R2s  e di altezza pari ad un metro (in realtà si dovrebbe supporre che vi sia una maggiore densità in prossimità della parte più interna del cilindro, ovvero vicino al suo asse, ed una minore densità nella parte più esterna, ma l'utilizzo di un simile modello più preciso, che faccia uso ad esempio di una distribuzione gaussiana, porterebbe ad un risultato ancora più piccolo della larghezza della scia, che quindi stiamo qui sovrastimando).  Ciò porta ad una densità di vapore acqueo pari a

4) C/π R2s    densità di vapore acqueo nella scia espressa in grammi al metro cubo  (gr/m3).
Adesso possiamo determinare l’ampiezza del raggio della eventuale scia di condensa uguagliando le quantità date dalle due formule precedenti, ovvero la 3 e la 4; ciò significa che ipotizziamo che tutto il vapore acqueo che fuoriesce dal motore finisca per accumularsi in una zona di raggio Rs ove arriva a saturazione e condensa.
5)  18Ps(1-0,01*Hrel)/RT=C/π R2s  
Da questa equazione possiamo ricavare facilmente il raggio Rssemplicemente inserendo 8,315 al posto della costante dei gas perfetti R (ovvero il suo valore nel sistema internazionale) invertendo la formula e poi estraendo la radice quadrata


raggio della scia di condensa espresso in metri


(precisiamo che pur calcolando delle densità in grammi al metro cubo, abbiamo uguagliato due quantità in cui tutti gli altri fattori sono espressi in unità del sistema internazionale; d'altronde moltiplicando per 10-3 entrambi i membri avremmo una equazione equivalente alla precedente, con le densità espresse in kg al metro cubole lunghezze calcolate sono quindi espresse correttamente in metri)
In questa formula è evidente che all’aumentare dell’umidità relativa (quantità che varia tra zero e 100 punti percentuali) diminuisce il denominatore, e quindi aumenta il raggio. Siccome poi il valore della pressione di vapor saturo diminuisce rapidamente al diminuire della temperatura, e siccome tale quantità compare a denominatore, il raggio dell’eventuale scia di condensa è massima alle basse temperature.
Calcolando il raggio della eventuale scia di condensa formatasi a differenti temperature (tra  -80° C e -40° C) e per diversi valori di umidità relativa si ottengono valori della sua larghezza che solo in casi eccezionali potrebbero raggiungere due o trecento metri (casi eccezionali significa ad esempio temperature di circa -80 gradi ed umidità relative al di sopra del 60 per cento, condizioni checonsultando i valori delle radiosonde non si incontranopraticamente mai). Dal momento che all’aumentare della temperatura aumenta la pressione di vapore saturo e quindi diminuisce (vedi formula 6) la dimensione del raggio della scia, anche se ci potesse essere qualche scia di condensa a valori inferiori della temperatura (come afferma per esempio il meteorologo militare Costante De Simone) la sua larghezza sarebbe alquanto ridotta, e quello che vogliamo mostrare è come la larghezza delle scie visibili nel cielo (come si evince anche dalla consultazione delle mappe satellitari) risulta molto ma molto maggiore delle dimensioni massime calcolabili in base ai calcoli qui esposti.
I valori di pressione di vapore saturo utilizzati nei calcoli (il file del foglio di calcolo programmato a tale scopo assieme ad un altro file di applicazione dei calcoli stessi è scaricabile in un unico file compresso in formato .zip) derivano dall’applicazione dellalegge di Clausius-Clapeyron, che ci fornisce la dipendenza funzionale tra pressione di vapore saturo dell’acqua e la temperatura.

dove A=6,1078 hPa (ettopascal ovvero millibar),
a=7,5 e b=237,3 per la pressione del vapore saturo rispetto all'acqua liquida 
a=9,5 e b=265,5 per la pressione del vapore saturo rispetto al ghiaccio (da utilizzare nel nostro caso, viste le bassissime temperature in esame, molto al di sotto degli 0 gradi centigradi).

Nel nostro caso ci interessa esclusivamente la pressione di vapore saturo rispetto al ghiaccio. 

A questo punto non resta che fare i calcoli del raggio per differenti valori di temperatura (e quindi di Ps) e di umidità relativa.
E' da tenere presente che i calcoli qui eseguiti non prendono in esame che uno degli aspetti che influenza la formazione delle scie di condensa, e seppure essi possano fornire valori di eventuali larghezze di scie formatesi a temperature maggiori di -30 °C si tratta di valori puramente teorici (il calcolo non è estensibile a quelle temperature per altri movi); per altro si sa che le scie in certe condizioni si possono formare e non essere visibili da terra (dipende dalla dimensione dei cristalli di ghiaccio che si formano dimensione che è influenzata a sua volta da quella del particolato che  funge da nucleo di condensazione, lo conferma sempreAviation Weather.) 

Da notare che valori vicini al 90% di umidità relativa sono a dir poco inusuali alle quote di crociera degli aerei (8-13 km). Un’attenta lettura dei dati delle radiosonde, verificata giorno dopo giorno, mostra che avere alta umidità relativa alle più alte quote praticate dagli aerei è decisamente inusuale. Se a quote inferiori a quelle di crociera (ovvero a meno di 8 km di quota) troviamo anche alti valori di umidità relativa (talora persino del 100%), a quote superiori le umidità relative molto inferiori, e intorno ai 10/13 km di quota spesso si registrano valori inferiori al 30%. Molto frequenti specie in inverno alle quote di 10/13 km sono i valori quasi nulli (minori del 10%). Se quindi possiamo pure calcolare l’eventuale raggio di una scia di condensa che si formi a temperature dell’ordine di -70 o -80 gradi (quali quelle che si raggiungono a quote intorno ai 10/12 km di quota) anche con valori di umidità relativa del 90% o del 95%, tali valori sono più che altro ipotetici.
Va aggiunto il fatto che, come segnalato anche sul documento dell’aviazione statunitense Aviation Weather (sempre a pagina 143), il passaggio dell’aereo coi suoi motori caldissimi scalda l’aria circostante e quindi quando ci troviamo in una zona dell’atmosfera con temperatura (per esempio) -60 gradi, per qualsiasi calcolo relativo alla formazione delle scie di condensa dovremmo riferirci a qualche grado di più. Tale effetto causa un’altra sovrastima dei valori del raggio calcolato, ed è da notare che l’effetto non è piccolo, dato che il passaggio di un aereo in prossimità di una formazione nuvolosa sottile e non troppo fredda può anche far evaporare parzialmente la nube (come documentato sempre da Aviation Weather a pagina 144, vedi immagine in apertura di articolo).

I valori calcolati vanno moltiplicati per 2 per ottenere il diametro della scia (larghezza della scia emessa da un singolo motore) e poi per il numero dei motori stessi. In tal modo abbiamo una stima della larghezza massima della scia di un aereo che è decisamente una sovrastima. Infatti se per valori piccoli di R (raggio della scia) otteniamo dai nostri calcoli che le scie devono vedersi come piccole e separate, e quindi anche se fossero 4 non dovrebbero superare la dimensione dell'apertura alare (circa 70 metri per i più grandi aerei), per valori più grandi di R le diverse scie si sovrappongono ed è chiaro che se l'umidità in eccesso "cerca" una zona libera ove potere saturare l'aria la trova non tanto a destra o a sinistra, ma piuttosto al di sopra e al di sotto, e per valori ancora più grandi di R la somma delle varie scie si comporta quasi come un'unica scia emessa dal centro dell'aereo.

Per questo nel foglio di calcolo allegato si pongono alla fine delle condizioni di scelta:
- se R è abbastanza piccolo vengono fuori 4 scie separate
- se R è più grande il risultato è un'unica scia larga circa quanto 8 volte R (valore per quanto appena detto sovrastimato)
- se R è ancora maggiore si ricorre ad un'approssimazione ellittica, ovvero si vede la scia come avente una sezione ellittica invece che circolare, dove la semidistanza focale dipende dalla distanza tra i motori di destra e di sinistra (nel calcolo si è utilizzato per la semidistanza focale un valore di 20 metri che corrisponde ad una distanza tra i motori di 40 metri; è facile vedere che per i valori più alti della dimensione della scia totale l'approssimazione ellittica tende al risultato che si otterrebbe considerando un'unica scia emessa dal centro dell'aereo). 
- per alcuni valori intermedi si ricorre ad una media pesata di modo da ottenere un risultato più preciso che corrisponda ad una funzione continua.



Vediamo allora da una immagine satellitare quanto è larga una tipica "scia degli aerei", ed iniziamo da una fotografia dei satelliti MODIS del 25 aprile 2010 (ricordiamo che in lingua inglese si scrive prima il mese e poi il numero del giorno).


Facciamo click sotto la prima immagine dove è scritto "pixel size" ovvero "dimensione di un pixel" (il singolo punto che definisce l'immagine nello schermo) scegliendo la mappa più dettagliata possibile ovvero quella a maggiore risoluzione: 1 pixel = 250 metri. Di tale mappa qui sotto possiamo vedere due screenshot.

A questo punto facendo click col tasto destro del mouse registriamo l'immagine nel nostro PC e la riapriamo con un programma di grafica che permetta di ritagliare la zona che ci interessa, di fare lo zoom e di analizzare la larghezza della scia contanto i pixel (io ho utilizzato il comunissimo programma paint ma qualsiasi programma di grafica dovrebbe andar ugualmente bene).

Qui accanto potete vedere la zona che ho ritagliato e sotto potete vedere la zonoa che ho analizzato con lo zoom.

Ancora più sotto l'immagina dello zoom (ingrandita 8 volte, zoom dell'800%) eseguito nell'intorno della una scia. Da tale immagine si può risalire agevolmente alla dimensione della scia stessa contando i pixel. Non è difficile identificare i pixel, sono quei quadratini dal medesimo colore e che danno ragione della definizione dell'immagine. Ad ogni modo col programma paint così come con molti altri programmi di grafica è possibile posizionarsi col cursore del mouse su una zona del disegno e verificare in quale zona esatta ci troviamo (pixel orizzontali e pixel verticali del disegno) di modo da essere certi della nostra misura.


Nella figura successiva vengono evidenziate due zone della scia, una delle quali misura tre pixel e l'altra due e come al solito per sottostimare il calcolo (più risultasse grande la scia e più sarebbe difficile considerarla una scia di condensa) prendiamo per buona la misura minore. Da notare che stiamo misurando solo la parte centrale della scia, quella di un bianco più intenso, visto che ai lati il bianco sfuma pian piano.

Essendo in questo caso la scia obliqua ed inclinata quasi esattamente a 45 gradi per ottenerne lo spessore dalla precedente misura di 500 metri (2 pixel per 250 metri) occorre dividere tale numero per la radice quadrata di due (è come calcolare il cateto di un triangolo rettangolo isoscele di cui è nota l'ipotenusa) ottenendo finalmente 353,6 metri.

Una scia decisamente molto ampia.

E adesso vediamo quali sono i parametri di umidità relativa e temperatura in quella località a quella data, controllando i dati delle radiosonde più vicine. Il  controllo per eccesso di zelo è stato fatto su tre rilevazioni eseguite ogni 12 ore.


I dati seguenti mostrano che difficilmente si potevano formare delle scie di condensa (le umidità relative sono quasi sempre minori del 60% alle varie quote), ma di sicuro, come potete controllare inserendo i dati nel foglio di calcolo, se si fossero formate le loro ampiezze sarebbero state sicuramente  molto inferiori. I calcoli infatti danno valori massimi di 100 metri (pur con tutte le sovrastime discusse in precedenza, il che è tutto dire). Di fronte ad un valore di oltre 350 metri letto sulla satellitare direi che siamo decisamente fuori dai limiti consentiti. Per altro sarà mia cura prossimamente mostrare altri casi simili (e persino più eclatanti) di scie enormemente espanse non classificabili come scie di condensa.

  NB: Al link precedente trovate due file compressi:

1 - definitivo chemtrails.xls, con il modello di calcolo applicabile a qualsiasi set di valori di temperatura ed umidità relativa oltre ai calcoli relativi al confronto tra le approssimazioni di gas perfetto e di Van der Waals


2 - scia studio chemtrail.xls con i calcoli applicati alla specifica scia studiata in questo articolo, rifatti per i tre set di valori forniti dai radiosondaggi qui sotto mostrati.
 

25 APRILE ALLE ORE 00


 ------------------------------------- PRES HGHT TEMP DWPT RELH hPa m C C % ------------------------------------ 
 370.0 7891 -34.5 -38.3 68 300.0 9320 -46.9 -52.9 50 295.0 9431 -48.1 -55.1 44 264.0 10153 -54.5 -58.3 63 250.0 10500 -57.5 -62.4 53 244.0 10651 -58.6 -63.6 53 217.0 11379 -64.2 -69.2 50 211.0 11553 -65.5 -70.5 50 209.0 11611 -65.2 -70.7 46 200.0 11880 -63.7 -71.7 33 185.0 12362 -60.9 -75.9 12 181.0 12499 -60.4 -76.9 10 166.0 13043 -58.5 -80.8 4 
 

25 APRILE 201 alle ore 12

 ------------------------------------ PRES HGHT TEMP DWPT RELH hPa m C C % ------------------------------------ 
 360.0 8102 -36.3 -45.3 39 300.0 9340 -47.3 -55.3 39 279.0 9816 -51.5 -59.5 38 253.0 10444 -56.7 -63.7 41 250.0 10520 -57.1 -64.1 41 200.0 11900 -65.3 -75.3 24 195.0 12054 -66.1 -76.1 23 191.0 12182 -65.0 -76.8 18 170.0 12901 -58.9 -80.9 4 168.0 12975 -58.7 -81.2 4 161.0 13244 -58.1 -82.3 3 
 

26 APRILE alle ore 00

 ------------------------------------- PRES HGHT TEMP DWPT RELH hPa m C C % ------------------------------------ 
 373.0 7839 -34.7 -45.2 34 300.0 9330 -47.7 -59.7 24 277.0 9847 -51.9 -62.3 28 250.0 10510 -57.3 -65.3 35 249.0 10535 -57.5 -65.4 35 224.0 11191 -61.6 -69.0 37 206.0 11710 -64.9 -71.9 37 205.0 11739 -64.8 -71.9 37 200.0 11890 -64.1 -72.1 33 194.0 12079 -63.2 -73.4 24 173.0 12789 -60.0 -78.3 7 162.0 13197 -58.1 -81.1 4 
 


Appendice 2: approssimazione ellittica

Una valutazione più precisa si può ottenere immaginando che dall’aereo fuoriesca un’unica scia ellissoidale e che lo schiacciamento dell’ellisse dipenda dalla distanza tra i motori più estremi dell’aereo. In questo caso il termine C viene sostituito dal valore Ctot, che per un quadrimotore corrisponde al quadruplo di C.

Se immaginiamo che la scia originata da un aereo (ad alte quote e per alti valori di umidità relativa, laddove la scia assume larghezze consistenti) sia ellissoidale, allora la sua area di base è data dalla formula A=πab dove a è il semiasse maggiore e b il semiasse minore dell’ellisse. Se consideriamo c la semidistanza focale per le note formule dell’ellisse risulta  .

Da tale formula mettendo in evidenza la a otteniamo

e quindi per l’area finalmente:






L’equazione 5)  18Ps(1-0,01*Hrel)/RT=C/π R2s  va quindi modificata ponendo al denominatore del secondo membro l’area appena calcolata (si tratta di una funzione della variabile a, mentre la semidistanza focale è una costante che poniamo uguale a 20 metri).

Si ottiene così la







Invertendo tale funzione per potere calcolare a otteniamo 





Ponendo  







possiamo scrivere







Liberando dal denominatore si ottiene l’equazione biquadraticaa4-c2a2-F2=0, risolvendo la quale si ottiene:
 




Per la regola di Cartesio l’equazione, presentando una variazione ed una permanenza, ammette una soluzione positiva ed una negativa. Quella negativa porta ad un valore di a2 non accettabile e quindi resta l’unica soluzione





Sostituendo in tale formula il valore di abbiamo il risultato finale, che permette di calcolare il semiasse maggiore della scia ellissoidale






Il doppio di tale valore rappresenta la massima larghezza possibile della scia.

 Appendice 2: validità dell’approssimazione ideale di gas perfetto

Le pressioni in gioco negli strati dell’atmosfera interessati (come si può verificare controllando un qualsiasi radiosondaggio) cadono in un range compreso tra 0,2 e 30 Pascal. Sebbene si tratti di valori riferiti alle basse temperature, dove la legge dei gas perfetti potrebbe cadere in difetto, le basse pressioni alle quali ci si trova rende abbastanza accurata anche l’uso di tale legge.

Vediamo però esattamente quale sarebbe la correzione da apportare nel caso si utilizzasse una formula più accurata come l’equazione di Van Der Waals.

Per diversi valori all’interno di tale range abbiamo calcolato il rapporto n/V fornito dall’equazione dei gas perfetti n/V=Pp/RT, ottenendo quindi una relazione (lineare) tra Pp (pressione dei gas perfetti) ed n/V.

L’equazione di Van Der Waals si può scrivere anche nella forma

Ricavando Pw (pressione di Van der Waals) dall’equazione si ottiene







relazione che lega la Pressione di Van Der Waals al rapporto n/V.
  
Calcoliamo quindi n/V=Pp/RT per un dato valore di pressione dei gas perfetti, e successivamente sostituiamo il valore trovato din/V nell’equazione di Van der Waals per determinare il corrispondente valore di Pw .


A conti fatti la discrepanza tra i valori di Pw e di Pp è minima, come si può osservare nel foglio di calcolo allegato. Per altro le differenze si notano (come è ovvio) per i valori più alti della pressione, ma ancora per P=30 la differenza è 0,015, ovvero dello 0,5 per mille. Il grafico rappresentato nella figura mostra la dipendenza del rapporto n/V da Pw e da Pp; si vede chiaramente come la differenza sia ben poco rilevante.

NB: i valori delle costanti b che entrano nell'equazione di Van der Waals, sono per l'acqua a=5,536 e b=0,3049, come si può verificare consultando un qualsiasi testo (o sito serio) di fisica.
Fonte:http://scienzamarcia.blogspot.it/2011/11/perche-le-scie-di-condensa-non-posso.html
Le due linee rossa e blu sono quasi perfettamente sovrapponibili nel range studiato

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